## 解答

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1. 問題の内容

(1) $n$ を0以上の整数とし、$x > 0$ のとき、不等式 $e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$ が成り立つことを示す。

(2) $n$ を正の整数とするとき、次の極限値をそれぞれ求める。ただし、ロピタルの定理は使用しない。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$、$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$

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2. 解き方の手順

**(1) 不等式の証明**

数学的帰納法で証明する。

* **ステップ1：** $n = 0$ のとき

$e^x > 1$ を示す。

$x > 0$ のとき、$e^x$ のマクローリン展開は $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ となる。

$x > 0$ なので、$x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots > 0$ であるから、$e^x > 1$ が成り立つ。

* **ステップ2：** $n = k$ のとき、不等式が成り立つと仮定する。

すなわち、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!}$ が成り立つと仮定する。

* **ステップ3：** $n = k + 1$ のとき、不等式が成り立つことを示す。

$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ を示す。

$e^x$ のマクローリン展開より、

$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!} + \frac{x^{k+2}}{(k+2)!} + \cdots$

となる。

$x > 0$ なので、$\frac{x^{k+2}}{(k+2)!} + \cdots > 0$ であるから、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ が成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$ が成り立つ。

**(2) 極限値の計算**

* **極限値1：** $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$

(1)の不等式より、$e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$である。

したがって、$0 < \frac{x^n}{e^x} < \frac{x^n}{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{(n+1)!}{x}$ となる。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(n+1)!}{x} = 0$ であるから、挟みうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$

* **極限値2：** $\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$

$t = -\log x$ と置くと、$x \to +0$ のとき、$t \to \infty$ となる。

また、$x = e^{-t}$ であるから、

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t)^n = \lim_{t \to \infty} \frac{(-1)^n t^n}{e^t} = (-1)^n \lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t}$

先ほどの極限値の計算より、$\lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t} = 0$ であるから、

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = 0$

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3. 最終的な答え

(1) $e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$ が成り立つ。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = 0$