$x > 0$ のとき、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ が成り立つと仮定したとき、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ が成り立つかどうかを問う問題です。これは数学的帰納法のステップの一部を示唆しています。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ が成り立つと仮定したとき、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ が成り立つかどうかを問う問題です。これは数学的帰納法のステップの一部を示唆しています。

2. 解き方の手順

この問題は、数学的帰納法を用いて証明できる可能性があります。ここでは、帰納法のステップについて考えます。

帰納法の仮定：ある自然数 $n$ に対して、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ が成り立つと仮定します。

目標：この仮定のもとで、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ が成り立つことを示します。

$e^x$ のテイラー展開を考えます。

$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} + \dots$

したがって、$e^x$ は、すべての正の $x$ に対して、そのテイラー展開の任意の有限和よりも大きいです。

つまり、

$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} + \sum_{k=n+2}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$

$x > 0$ のとき、$\sum_{k=n+2}^{\infty} \frac{x^k}{k!} > 0$ なので、

$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

はい、成り立ちます。