問題は、$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$ を計算することです。ただし、画像には「なぜ $x \to +0$ が $t \to \infty$ となるのですか？」という質問も含まれています。ここで $t = -\log x$ です。

1. 問題の内容

問題は、$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$ を計算することです。ただし、画像には「なぜ $x \to +0$ が $t \to \infty$ となるのですか？」という質問も含まれています。ここで $t = -\log x$ です。

2. 解き方の手順

まず、$t = -\log x$ とおくと、$\log x = -t$ となります。

$x = e^{-t}$ となります。

また、$x \to +0$ のとき、$t \to \infty$ となることを確認します。

$x$ が正の方向から0に近づくとき、$\log x$ は負の無限大に近づきます。したがって、$t = -\log x$ は正の無限大に近づきます。

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t)^n = \lim_{t \to \infty} \frac{(-1)^n t^n}{e^t}$

ここで、ロピタルの定理を繰り返し用います。

$f(t) = t^n$, $g(t) = e^t$ とおくと、

$f'(t) = n t^{n-1}$, $g'(t) = e^t$

$f''(t) = n(n-1) t^{n-2}$, $g''(t) = e^t$

...

$f^{(n)}(t) = n!$, $g^{(n)}(t) = e^t$

したがって、

$\lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t} = \lim_{t \to \infty} \frac{n!}{e^t} = 0$

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = (-1)^n \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = 0$

$x \to +0$ のとき $t = -\log x \to \infty$ となる理由は、$x$ が正の方向から0に近づくとき、$\log x$ は負の無限大に近づくからです。