図形の点の個数を増やしていく数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $a_5$を求める。 (2) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求める。 (3) 一般項$a_n$を求める。 (4) $\sum_{k=1}^{n} a_k$を求める。

1. 問題の内容

図形の点の個数を増やしていく数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $a_5$を求める。

(2) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求める。

(3) 一般項$a_n$を求める。

(4) $\sum_{k=1}^{n} a_k$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 図を見て、$a_1, a_2, a_3, a_4$を求めます。

$a_1 = 1$

$a_2 = 5$

$a_3 = 13$

$a_4 = 25$

これらの数列の規則性から、$a_5$を推測します。

$a_5 = 41$

(2) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めるために、階差数列を考えます。

$a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$

$a_3 - a_2 = 13 - 5 = 8$

$a_4 - a_3 = 25 - 13 = 12$

階差数列は $4, 8, 12, ...$ となるので、階差数列の一般項は $4n$ となります。

したがって、$a_{n+1} = a_n + 4n$

(3) 一般項$a_n$を求めます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4k = 1 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + 4\frac{(n-1)n}{2} = 1 + 2n(n-1) = 2n^2 - 2n + 1$

(4) $\sum_{k=1}^{n} a_k$を求めます。

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 2k + 1) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

$\sum_{k=1}^{n} a_k = 2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - n(n+1) + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n[(n+1)(2n+1) - 3(n+1) + 3]}{3}$

$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 - 3n - 3 + 3]}{3} = \frac{n[2n^2 + 1]}{3} = \frac{2n^3 + n}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a_5 = 41$

(2) $a_{n+1} = a_n + 4n$

(3) $a_n = 2n^2 - 2n + 1$

(4) $\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{2n^3 + n}{3}$