100点満点の試験を受けた生徒の中から400人を標本として選び、平均点と標準偏差を調べた結果、それぞれ62.3点と10.0点であった。全員の平均点 $m$ 点を信頼度95%で推定した場合の、$m$の範囲を求めよ。ただし、範囲の端点は小数第2位を四捨五入して答えよ。

1. 問題の内容

100点満点の試験を受けた生徒の中から400人を標本として選び、平均点と標準偏差を調べた結果、それぞれ62.3点と10.0点であった。全員の平均点 $m$ 点を信頼度95%で推定した場合の、$m$の範囲を求めよ。ただし、範囲の端点は小数第2位を四捨五入して答えよ。

2. 解き方の手順

母平均の信頼区間は、標本平均 $\bar{x}$, 母標準偏差 $\sigma$, 標本サイズ $n$, 信頼係数 $z$を用いて、以下のように表されます。

$\bar{x} - z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

問題文より、$\bar{x} = 62.3$, $\sigma = 10.0$, $n = 400$ です。

信頼度95%の場合、$z = 1.96$ となります。（これは覚えておく必要があります。）

したがって、信頼区間の下限は、

$62.3 - 1.96 \times \frac{10.0}{\sqrt{400}} = 62.3 - 1.96 \times \frac{10}{20} = 62.3 - 1.96 \times 0.5 = 62.3 - 0.98 = 61.32$

信頼区間の上限は、

$62.3 + 1.96 \times \frac{10.0}{\sqrt{400}} = 62.3 + 1.96 \times \frac{10}{20} = 62.3 + 1.96 \times 0.5 = 62.3 + 0.98 = 63.28$

それぞれ小数第2位を四捨五入すると、

下限は61.3、上限は63.3となります。

3. 最終的な答え

$61.3 \le m \le 63.3$