次の2つの不定方程式を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めます。 (1) $3xy - 3x + 4y = 6$ (2) $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$

1. 問題の内容

次の2つの不定方程式を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めます。

(1) $3xy - 3x + 4y = 6$

(2) $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$

2. 解き方の手順

(1) $3xy - 3x + 4y = 6$ を変形します。

まず、$x$ の項をまとめます。

$3x(y-1) + 4y = 6$

次に、$y-1$ を作ることを考えます。

$3x(y-1) + 4(y-1) + 4 = 6$

$(3x+4)(y-1) = 6 - 4$

$(3x+4)(y-1) = 2$

$3x+4$ と $y-1$ は整数なので、$(3x+4, y-1)$ の組み合わせは $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$ のいずれかです。

それぞれの組み合わせについて $(x, y)$ を求めます。

(i) $(3x+4, y-1) = (1, 2)$ のとき、

$3x+4 = 1$ より $3x = -3$, よって $x = -1$。

$y-1 = 2$ より $y = 3$。

(ii) $(3x+4, y-1) = (2, 1)$ のとき、

$3x+4 = 2$ より $3x = -2$, よって $x = -\frac{2}{3}$。これは整数ではないので不適。

(iii) $(3x+4, y-1) = (-1, -2)$ のとき、

$3x+4 = -1$ より $3x = -5$, よって $x = -\frac{5}{3}$。これは整数ではないので不適。

(iv) $(3x+4, y-1) = (-2, -1)$ のとき、

$3x+4 = -2$ より $3x = -6$, よって $x = -2$。

$y-1 = -1$ より $y = 0$。

(2) $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ を変形します。

両辺に $xy$ を掛けると、

$2y + x = xy$

$xy - x - 2y = 0$

$(x-2)(y-1) = 2$

$x-2$ と $y-1$ は整数なので、$(x-2, y-1)$ の組み合わせは $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$ のいずれかです。

それぞれの組み合わせについて $(x, y)$ を求めます。

(i) $(x-2, y-1) = (1, 2)$ のとき、

$x-2 = 1$ より $x = 3$。

$y-1 = 2$ より $y = 3$。

(ii) $(x-2, y-1) = (2, 1)$ のとき、

$x-2 = 2$ より $x = 4$。

$y-1 = 1$ より $y = 2$。

(iii) $(x-2, y-1) = (-1, -2)$ のとき、

$x-2 = -1$ より $x = 1$。

$y-1 = -2$ より $y = -1$。

(iv) $(x-2, y-1) = (-2, -1)$ のとき、

$x-2 = -2$ より $x = 0$。

$x=0$だと、$\frac{2}{x}$ が定義できないので不適。

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (-1, 3), (-2, 0)$

(2) $(x, y) = (3, 3), (4, 2), (1, -1)$