与えられた級数の値を求める問題です。問題は、無限級数 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1}$ が $\frac{\pi}{2}$ に等しいことを示すことです。

1. 問題の内容

与えられた級数の値を求める問題です。問題は、無限級数 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1}$ が $\frac{\pi}{2}$ に等しいことを示すことです。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}$ が中心二項係数と関連していることに注目します。中心二項係数は ${2k \choose k} = \frac{(2k)!}{(k!)^2}$ で表されます。したがって、与えられた級数は次のように書き換えられます。

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{{2k \choose k}}{4^k} \frac{1}{2k+1}$

次に、冪級数展開 $\arcsin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{{2k \choose k}}{2^{2k}(2k+1)} x^{2k+1}$ を利用します。

この式を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{{2k \choose k}}{4^k} (2k+1)x^{2k}$

が得られます。この式を0からxまで積分すると、元の級数に似た形が得られます。

$\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \arcsin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{{2k \choose k}}{4^k} \int_0^x (2k+1)t^{2k} dt$

ここで、$x = 1$ を代入してみると、被積分関数が定義されないため、直接計算はできません。

しかし、与えられた級数 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{{2k \choose k}}{4^k} \frac{1}{2k+1}$ を直接計算するのは難しいので、別の方法を考えます。$\arcsin(x)$ の級数展開を利用して、

$\arcsin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

ここで、$x=1$ を代入すると、

$\arcsin(1) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1}$

$\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$ であるため、

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$