$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$ ($x > 0$) が0以上の整数nについて成り立つことを、数学的帰納法で示す問題の一部が示されています。 特に、画像には数学的帰納法のステップで、n=kの場合に不等式が成り立つと仮定し、n=k+1の場合を示す部分が含まれています。質問は「なぜ $x \geq 0$ となり等号がつくのですか」とあります。

1. 問題の内容

$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$ ($x > 0$) が0以上の整数nについて成り立つことを、数学的帰納法で示す問題の一部が示されています。

特に、画像には数学的帰納法のステップで、n=kの場合に不等式が成り立つと仮定し、n=k+1の場合を示す部分が含まれています。質問は「なぜ $x \geq 0$ となり等号がつくのですか」とあります。

2. 解き方の手順

画像に示された内容から、関数 $f_k(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!})$ を定義しています。

帰納法の仮定から、$f_k(x) > 0$ ($x > 0$) が成り立ちます。

次に、$f_{k+1}(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!})$ を定義します。

$f_{k+1}(x)$ の導関数は $f'_{k+1}(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!}) = f_k(x)$ となります。

したがって、$f'_{k+1}(x) = f_k(x) > 0$ ($x > 0$) です。

これにより、$x > 0$ において $f_{k+1}(x)$ は増加関数であることがわかります。

$f_{k+1}(0)$ を計算すると、$f_{k+1}(0) = e^0 - (1 + 0 + 0 + \cdots + 0) = 1 - 1 = 0$ となります。

$f_{k+1}(x)$ は $x > 0$ において増加関数であり、$f_{k+1}(0) = 0$ であることから、$x \geq 0$ において $f_{k+1}(x) \geq 0$ であることが言えます。

画像内で$x \geq 0$ となっている理由は、初期値$f_{k+1}(0) = 0$を考慮しているためです。

3. 最終的な答え

$f'_{k+1}(x) = f_k(x) > 0$ ($x > 0$) であり、$f_{k+1}(0) = 0$ なので、$x \geq 0$ の範囲で $f_{k+1}(x)$ が増加し、$f_{k+1}(x) \geq 0$ となるため、$x \geq 0$ となり、等号がつきます。