(1) 2次方程式 $x^2 + 6x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$ (3) $\frac{1}{\alpha - 1} + \frac{1}{\beta - 1}$ (2) 2次方程式 $x^2 - 12x + k + 1 = 0$ の1つの解がもう1つの解の平方であるとき、定数 $k$ の値と2つの解を求めます。 (3) 2次方程式 $3x^2 - 5x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 + 1$ と $\beta^2 + 1$ を解に持つ2次方程式を1つ作ります。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + 6x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

(3) $\frac{1}{\alpha - 1} + \frac{1}{\beta - 1}$

(2) 2次方程式 $x^2 - 12x + k + 1 = 0$ の1つの解がもう1つの解の平方であるとき、定数 $k$ の値と2つの解を求めます。

(3) 2次方程式 $3x^2 - 5x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 + 1$ と $\beta^2 + 1$ を解に持つ2次方程式を1つ作ります。

2. 解き方の手順

(1)

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -6$ および $\alpha\beta = -1$ です。したがって、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-6)^2 - 2(-1) = 36 + 2 = 38$.

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = (-6)^3 - 3(-1)(-6) = -216 - 18 = -234$.

(3) $\frac{1}{\alpha - 1} + \frac{1}{\beta - 1}$

$\frac{1}{\alpha - 1} + \frac{1}{\beta - 1} = \frac{(\beta - 1) + (\alpha - 1)}{(\alpha - 1)(\beta - 1)} = \frac{\alpha + \beta - 2}{\alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1} = \frac{-6 - 2}{-1 - (-6) + 1} = \frac{-8}{-1 + 6 + 1} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.

(2)

解を $t$ と $t^2$ とおくと、解と係数の関係より

$t + t^2 = 12$

$t \cdot t^2 = t^3 = k + 1$

$t^2 + t - 12 = 0$

$(t + 4)(t - 3) = 0$

したがって、$t = -4$ または $t = 3$ です。

$t = -4$ のとき、$k + 1 = (-4)^3 = -64$ より、$k = -65$。解は $-4$ と $16$。

$t = 3$ のとき、$k + 1 = (3)^3 = 27$ より、$k = 26$。解は $3$ と $9$。

(3)

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = \frac{5}{3}$ および $\alpha\beta = \frac{1}{3}$ です。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (\frac{5}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = \frac{25}{9} - \frac{6}{9} = \frac{19}{9}$.

求める2次方程式の解は $\alpha^2 + 1$ と $\beta^2 + 1$ であるから、

$(\alpha^2 + 1) + (\beta^2 + 1) = \alpha^2 + \beta^2 + 2 = \frac{19}{9} + 2 = \frac{19 + 18}{9} = \frac{37}{9}$.

$(\alpha^2 + 1)(\beta^2 + 1) = \alpha^2\beta^2 + \alpha^2 + \beta^2 + 1 = (\alpha\beta)^2 + \alpha^2 + \beta^2 + 1 = (\frac{1}{3})^2 + \frac{19}{9} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{19}{9} + \frac{9}{9} = \frac{29}{9}$.

よって、求める2次方程式は、$x^2 - \frac{37}{9}x + \frac{29}{9} = 0$ より、$9x^2 - 37x + 29 = 0$.

3. 最終的な答え

(1)

(1) 38

(2) -234

(3) $-\frac{4}{3}$

(2)

$k = -65$ のとき、解は $-4$ と $16$。

$k = 26$ のとき、解は $3$ と $9$。

(3)

$9x^2 - 37x + 29 = 0$