放物線と直線で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを求める問題です。 (1) $y=x^2$ と $y=x$ (2) $y=-x^2+2$ と $y=1$

1. 問題の内容

放物線と直線で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを求める問題です。

(1) $y=x^2$ と $y=x$

(2) $y=-x^2+2$ と $y=1$

2. 解き方の手順

(1)

ステップ1: 2つの関数の交点を求めます。

$x^2 = x$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

$x = 0, 1$

交点は $(0, 0)$ と $(1, 1)$ です。

ステップ2: 回転体の体積を求めます。回転体の体積は、外側の関数を回転させた体積から内側の関数を回転させた体積を引いたものになります。

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - (x^2)^2) dx$

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) dx$

ステップ3: 積分を実行します。

$V = \pi [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}]_{0}^{1}$

$V = \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

$V = \pi (\frac{5 - 3}{15})$

$V = \pi (\frac{2}{15})$

(2)

ステップ1: 2つの関数の交点を求めます。

$-x^2 + 2 = 1$

$x^2 = 1$

$x = -1, 1$

交点は $(-1, 1)$ と $(1, 1)$ です。

ステップ2: 回転体の体積を求めます。

$V = \pi \int_{-1}^{1} ((-x^2+2)^2 - 1^2) dx$

$V = \pi \int_{-1}^{1} (x^4 - 4x^2 + 4 - 1) dx$

$V = \pi \int_{-1}^{1} (x^4 - 4x^2 + 3) dx$

ステップ3: 積分を実行します。

$V = \pi [\frac{x^5}{5} - \frac{4x^3}{3} + 3x]_{-1}^{1}$

$V = \pi [(\frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 3) - (\frac{-1}{5} - \frac{-4}{3} - 3)]$

$V = \pi [\frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 3 + \frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 3]$

$V = \pi [\frac{2}{5} - \frac{8}{3} + 6]$

$V = \pi [\frac{6 - 40 + 90}{15}]$

$V = \pi [\frac{56}{15}]$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{2\pi}{15}$

(2) $V = \frac{56\pi}{15}$