2つの2次方程式 $x^2 + kx + k + 3 = 0$ と $x^2 + kx + 4 = 0$ がともに実数解をもつような、定数 $k$ の値の範囲を求める。

## 問題6の解答

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 + kx + k + 3 = 0$ と $x^2 + kx + 4 = 0$ がともに実数解をもつような、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解をもつための条件は、判別式 $D \ge 0$ である。それぞれの2次方程式に対して判別式を計算し、$k$ の条件を求める。

まず、$x^2 + kx + k + 3 = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = k^2 - 4(k+3) = k^2 - 4k - 12$

$D_1 \ge 0$ より、

$k^2 - 4k - 12 \ge 0$

$(k - 6)(k + 2) \ge 0$

$k \le -2$ または $k \ge 6$

次に、$x^2 + kx + 4 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = k^2 - 4(4) = k^2 - 16$

$D_2 \ge 0$ より、

$k^2 - 16 \ge 0$

$(k - 4)(k + 4) \ge 0$

$k \le -4$ または $k \ge 4$

2つの条件を同時に満たす $k$ の範囲を求める。

$k \le -2$ または $k \ge 6$

$k \le -4$ または $k \ge 4$

したがって、$k \le -4$ または $k \ge 6$

3. 最終的な答え

$k \le -4$ または $k \ge 6$