楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点 P からこの楕円に 2 本の接線を引いたとき、その 2 本の接線が直交するような点 P の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点 P からこの楕円に 2 本の接線を引いたとき、その 2 本の接線が直交するような点 P の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点 P の座標を $(X, Y)$ とおきます。

次に、傾きが $m$ の直線で、楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ に接するものを考えます。

この直線の式を $y = mx + k$ とおきます。

この直線を楕円の式に代入すると、

$\frac{x^2}{9} + \frac{(mx+k)^2}{16} = 1$

$16x^2 + 9(m^2 x^2 + 2mkx + k^2) = 144$

$(16 + 9m^2)x^2 + 18mkx + 9k^2 - 144 = 0$

この 2 次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることです。

$D/4 = (9mk)^2 - (16 + 9m^2)(9k^2 - 144) = 0$

$81m^2 k^2 - (144k^2 - 2304 + 81m^2 k^2 - 1296m^2) = 0$

$-144k^2 + 2304 + 1296m^2 = 0$

$144k^2 = 2304 + 1296m^2$

$k^2 = 16 + 9m^2$

$k = \pm \sqrt{16 + 9m^2}$

したがって、楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ に接する傾き $m$ の直線の方程式は、

$y = mx \pm \sqrt{16 + 9m^2}$

この直線が点 P $(X, Y)$ を通るので、

$Y = mX \pm \sqrt{16 + 9m^2}$

$(Y - mX)^2 = 16 + 9m^2$

$Y^2 - 2mXY + m^2 X^2 = 16 + 9m^2$

$(X^2 - 9)m^2 - 2XYm + (Y^2 - 16) = 0$

この $m$ に関する 2 次方程式の 2 つの解を $m_1, m_2$ とすると、この $m_1, m_2$ は、点 P から引いた 2 本の接線の傾きを表します。問題より、この 2 本の接線は直交するので、$m_1 m_2 = -1$ となります。

解と係数の関係より、

$m_1 m_2 = \frac{Y^2 - 16}{X^2 - 9}$

したがって、

$\frac{Y^2 - 16}{X^2 - 9} = -1$

$Y^2 - 16 = -X^2 + 9$

$X^2 + Y^2 = 25$

3. 最終的な答え

点 P の軌跡は、円 $x^2 + y^2 = 25$ である。