関数 $f(x) = \log_2{x} + 2\log_2{(6-x)}$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log_2{x} + 2\log_2{(6-x)}$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数が定義される条件から、$x > 0$ かつ $6-x > 0$ である必要があります。

よって、定義域は $0 < x < 6$ となります。

次に、関数 $f(x)$ を変形します。

$f(x) = \log_2{x} + \log_2{(6-x)^2} = \log_2{x(6-x)^2}$

$g(x) = x(6-x)^2$ とおくと、関数 $f(x)$ の最大値を求めることは、関数 $g(x)$ の最大値を求めることと同じです。

$g(x) = x(36 - 12x + x^2) = x^3 - 12x^2 + 36x$

$g'(x) = 3x^2 - 24x + 36 = 3(x^2 - 8x + 12) = 3(x-2)(x-6)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 2$ または $x = 6$ のときです。

定義域 $0 < x < 6$ を考慮すると、$x = 2$ が極値を与える候補となります。

$x < 2$ のとき $g'(x) > 0$ であり、$2 < x < 6$ のとき $g'(x) < 0$ であるため、$x = 2$ で $g(x)$ は極大値をとります。

$g(2) = 2(6-2)^2 = 2(4^2) = 2(16) = 32$

したがって、$x=2$ のとき、$f(x)$ は最大値をとります。

$f(2) = \log_2{2} + 2\log_2{(6-2)} = \log_2{2} + 2\log_2{4} = 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5$

3. 最終的な答え

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