複素数 $\alpha = 1-i$, $\beta = 3$, $\gamma = 3+5i$ が与えられたとき、$\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}$ の偏角と絶対値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1-i$, $\beta = 3$, $\gamma = 3+5i$ が与えられたとき、$\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}$ の偏角と絶対値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\beta - \alpha$ と $\gamma - \alpha$ を計算する。

$\beta - \alpha = 3 - (1 - i) = 2 + i$

$\gamma - \alpha = (3 + 5i) - (1 - i) = 2 + 6i$

次に、$\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}$ を計算する。

$\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha} = \frac{2 + i}{2 + 6i}$

複素数の割り算を行うために、分母の共役複素数を分子と分母にかける。

$\frac{2 + i}{2 + 6i} = \frac{(2 + i)(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} = \frac{4 - 12i + 2i - 6i^2}{4 - 36i^2} = \frac{4 - 10i + 6}{4 + 36} = \frac{10 - 10i}{40} = \frac{1 - i}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i$

偏角を求める。$\frac{1}{4} - \frac{1}{4}i$ は第4象限にあるので、偏角は $-\frac{\pi}{4}$ となる。

よって、$\arg \frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha} = -\frac{\pi}{4} + 2n\pi$ (n:整数)

絶対値を求める。

$\left|\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right| = \left|\frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\right| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

問題文の形式に合うように変形する。

$\arg \frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha} = -\frac{1}{4}\pi + 2n\pi$ なので、1 に入るのは 4 。

$\left|\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right| = \frac{\sqrt{2}}{4} = \sqrt{\frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1}{8}}$ なので、

$\left|\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right| = \sqrt{\frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1}{8}}$ となる。

ルートの中身をみると2 に入るのは 1 、 3 に入るのは 8 。

3. 最終的な答え

$\arg \frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha} = -\frac{\pi}{4} + 2n\pi$ (n:整数)

$\left|\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right| = \sqrt{\frac{1}{8}}$

1 = 4

2 = 1

3 = 8