頂点が (1, 3) で、点 (2, 5) を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求め、 $y = ax^2 + bx + c$ の形で表したときの、$a$, $b$, $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

頂点が (1, 3) で、点 (2, 5) を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求め、 $y = ax^2 + bx + c$ の形で表したときの、$a$, $b$, $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、頂点の座標が $(1, 3)$ であることから、2次関数は次のように表すことができる。

$y = a(x - 1)^2 + 3$

次に、この放物線が点 $(2, 5)$ を通ることから、$x = 2$, $y = 5$ を代入して、$a$ の値を求める。

$5 = a(2 - 1)^2 + 3$

$5 = a(1)^2 + 3$

$5 = a + 3$

$a = 2$

よって、2次関数は次のようになる。

$y = 2(x - 1)^2 + 3$

これを展開して、$y = ax^2 + bx + c$ の形にする。

$y = 2(x^2 - 2x + 1) + 3$

$y = 2x^2 - 4x + 2 + 3$

$y = 2x^2 - 4x + 5$

したがって、$a = 2$, $b = -4$, $c = 5$ である。

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 4x + 5$