三角形ABCにおいて、$a=6$, $A=45^\circ$, $B=30^\circ$のとき、$b = \boxed{\text{ア}} \sqrt{\boxed{\text{イ}}}$である。アとイに当てはまる数字を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=6$, $A=45^\circ$, $B=30^\circ$のとき、$b = \boxed{\text{ア}} \sqrt{\boxed{\text{イ}}}$である。アとイに当てはまる数字を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。正弦定理は、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

である。

与えられた条件から、$a=6$, $A=45^\circ$, $B=30^\circ$なので、

$$\frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ}$$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、 $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$を代入すると、

$$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}}$$

$$\frac{12}{\sqrt{2}} = 2b$$

$$b = \frac{6}{\sqrt{2}}$$

$$b = \frac{6\sqrt{2}}{2}$$

$$b = 3\sqrt{2}$$

よって、ア=3、イ=2である。

3. 最終的な答え

$b = 3\sqrt{2}$