与えられた式 $8x^3 - y^3 - 6xy - 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $8x^3 - y^3 - 6xy - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$8x^3$ を $(2x)^3$、$1$ を $1^3$ と書き換えます。

与式は $(2x)^3 - y^3 - 1 - 6xy$ となります。

次に、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ という公式を利用することを考えます。

$-6xy$ を $-3(2x)(y)(1)$ の形にしたいので、$a=2x$, $b=-y$, $c=-1$ とすると、

$a+b+c = 2x-y-1$

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (2x)^3 + (-y)^3 + (-1)^3 - 3(2x)(-y)(-1) = 8x^3 - y^3 - 1 - 6xy$

したがって、

$8x^3 - y^3 - 6xy - 1 = (2x)^3 + (-y)^3 + (-1)^3 - 3(2x)(-y)(-1)$

$= (2x - y - 1)((2x)^2 + (-y)^2 + (-1)^2 - (2x)(-y) - (-y)(-1) - (-1)(2x))$

$= (2x - y - 1)(4x^2 + y^2 + 1 + 2xy - y + 2x)$

$= (2x - y - 1)(4x^2 + y^2 + 2xy + 2x - y + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x - y - 1)(4x^2 + y^2 + 2xy + 2x - y + 1)$