袋Aには赤玉2個、白玉1個が入っており、袋Bには赤玉3個、白玉2個が入っている。袋Aから1個、袋Bから2個、合計3個の玉を取り出すとき、取り出した玉が赤玉1個、白玉2個である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aには赤玉2個、白玉1個が入っており、袋Bには赤玉3個、白玉2個が入っている。袋Aから1個、袋Bから2個、合計3個の玉を取り出すとき、取り出した玉が赤玉1個、白玉2個である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

袋Aから1個、袋Bから2個の玉を取り出す組み合わせはいくつか考えられます。取り出した3個の玉が赤玉1個、白玉2個となる確率をそれぞれの組み合わせについて計算し、それらを足し合わせることで、求める確率を計算します。

(i) 袋Aから赤玉1個、袋Bから白玉2個を取り出す場合

袋Aから赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{3}$

袋Bから白玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

よって、この場合の確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{10} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

(ii) 袋Aから白玉1個、袋Bから赤玉1個、白玉1個を取り出す場合

袋Aから白玉を取り出す確率は $\frac{1}{3}$

袋Bから赤玉1個、白玉1個を取り出す確率は $\frac{{}_3C_1 \times {}_2C_1}{{}_5C_2} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

よって、この場合の確率は $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

求める確率は、(i)と(ii)の場合の確率の和です。

$\frac{1}{15} + \frac{1}{5} = \frac{1}{15} + \frac{3}{15} = \frac{4}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{15}$