袋の中に赤玉3個と白玉2個が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出す。赤玉1個につき100円もらえるとき、1回の試行で受け取る金額の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個と白玉2個が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出す。赤玉1個につき100円もらえるとき、1回の試行で受け取る金額の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、3個の玉を取り出す組み合わせの総数を求める。これは、5個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、$_5C_3$ で計算できる。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、取り出す赤玉の個数に応じて、受け取る金額と確率を計算する。

- 赤玉3個の場合：金額は300円。確率は $\frac{_3C_3 \times _2C_0}{_5C_3} = \frac{1 \times 1}{10} = \frac{1}{10}$

- 赤玉2個の場合：金額は200円。確率は $\frac{_3C_2 \times _2C_1}{_5C_3} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

- 赤玉1個の場合：金額は100円。確率は $\frac{_3C_1 \times _2C_2}{_5C_3} = \frac{3 \times 1}{10} = \frac{3}{10}$

- 赤玉0個の場合：金額は0円。確率は $\frac{_3C_0 \times _2C_3}{_5C_3} = \frac{1 \times 0}{10} = 0$ (3個取り出すので、白玉が3個必要だが、白玉は2個しかないので起こりえない)

期待値は、各金額とその確率の積の総和で求められる。

$期待値 = 300 \times \frac{1}{10} + 200 \times \frac{6}{10} + 100 \times \frac{3}{10} + 0 \times 0$

$期待値 = 30 + 120 + 30 = 180$

3. 最終的な答え

180 円