三角形ABCにおいて、辺BC上に点Dがあり、線分AD上に点Eがある。BD:DC = 3:2, AE:ED = 2:1である。このとき、以下の面積比を求めよ。 * $\triangle EBC : \triangle ABC$ * $\triangle ABE : \triangle ACE$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に点Dがあり、線分AD上に点Eがある。BD:DC = 3:2, AE:ED = 2:1である。このとき、以下の面積比を求めよ。

* $\triangle EBC : \triangle ABC$

* $\triangle ABE : \triangle ACE$

2. 解き方の手順

(1) $\triangle EBC$ と $\triangle ABC$ の面積比を求める。

$\triangle ABD$ の面積を$S_{ABD}$, $\triangle ACD$ の面積を$S_{ACD}$とする。

$BD:DC = 3:2$ より、$S_{ABD}:S_{ACD}=3:2$となる。

したがって、$S_{ABD} = \frac{3}{5} S_{ABC}$, $S_{ACD} = \frac{2}{5} S_{ABC}$。

$\triangle EBD$ の面積を$S_{EBD}$, $\triangle ECD$ の面積を$S_{ECD}$とする。

$AE:ED = 2:1$ より、$S_{ABE}:S_{EBD} = 2:1$ かつ $S_{ACE}:S_{ECD} = 2:1$

$S_{EBD} = \frac{1}{3} S_{ABD} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} S_{ABC} = \frac{1}{5} S_{ABC}$

$S_{ECD} = \frac{1}{3} S_{ACD} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} S_{ABC} = \frac{2}{15} S_{ABC}$

$S_{EBC} = S_{EBD} + S_{ECD} = \frac{1}{5} S_{ABC} + \frac{2}{15} S_{ABC} = \frac{3}{15} S_{ABC} + \frac{2}{15} S_{ABC} = \frac{5}{15} S_{ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC}$

よって、$\triangle EBC : \triangle ABC = 1 : 3$

(2) $\triangle ABE$ と $\triangle ACE$ の面積比を求める。

$AE:ED = 2:1$ より、$\triangle ABE : \triangle EBD = AE:ED = 2:1$ かつ $\triangle ACE : \triangle ECD = AE:ED = 2:1$

$S_{ABE} = 2 \times S_{EBD} = 2 \times \frac{1}{5} S_{ABC} = \frac{2}{5} S_{ABC}$

$S_{ACE} = 2 \times S_{ECD} = 2 \times \frac{2}{15} S_{ABC} = \frac{4}{15} S_{ABC}$

$\triangle ABE : \triangle ACE = \frac{2}{5} : \frac{4}{15} = \frac{6}{15} : \frac{4}{15} = 6:4 = 3:2$

3. 最終的な答え

* $\triangle EBC : \triangle ABC = 1 : 3$

* $\triangle ABE : \triangle ACE = 3 : 2$