関数 $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\theta = \frac{5}{12}\pi$ のとき、$y$ の値を求めます。 (2) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を $\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の形で表し、$0 \le \theta \le \pi$ における $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値と最小値を求めます。 (3) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$y = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ を求めます。

はい、承知いたしました。問題文の指示に従って、問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\theta = \frac{5}{12}\pi$ のとき、$y$ の値を求めます。

(2) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を $\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の形で表し、$0 \le \theta \le \pi$ における $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値と最小値を求めます。

(3) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$y = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{5}{12}\pi$ を $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ に代入します。

$$y = \sin(\frac{5}{12}\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{5}{12}\pi + \frac{4}{12}\pi) = \sin(\frac{9}{12}\pi) = \sin(\frac{3}{4}\pi)$$

$\sin(\frac{3}{4}\pi) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を合成します。

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2(\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

$0 \le \theta \le \pi$ なので、$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の最大値は $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$1$ となります。

よって、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値は $2 \times 1 = 2$ となります。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の最小値は $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ のとき、$\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

よって、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の最小値は $2 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$ となります。

(3) $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ を求めます。

$0 \le \theta \le \pi$ なので、$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta + \frac{\pi}{3}$ は、$\frac{7}{6}\pi$ と $\frac{11}{6}\pi$ です。

$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ なので、$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{7}{6}\pi$

$\theta = \frac{7}{6}\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{7}{6}\pi - \frac{2}{6}\pi = \frac{5}{6}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

最大値: $2$

最小値: $-\sqrt{3}$

(3) $\theta = \frac{5}{6}\pi$