関数 $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ について、以下の問いに答える。 (1) $\theta = \frac{5}{12}\pi$ のとき、$y$ の値を求める。 (2) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を $A\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の形で表し、 $0 \leq \theta \leq \pi$ における $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値と最小値を求める。 (3) $0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、$y = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ について、以下の問いに答える。

(1) $\theta = \frac{5}{12}\pi$ のとき、$y$ の値を求める。

(2) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を $A\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の形で表し、 $0 \leq \theta \leq \pi$ における $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値と最小値を求める。

(3) $0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、$y = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{5}{12}\pi$ を $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ に代入する。

$y = \sin(\frac{5}{12}\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{5}{12}\pi + \frac{4}{12}\pi) = \sin(\frac{9}{12}\pi) = \sin(\frac{3}{4}\pi) = \sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

(2) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を合成する。

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2(\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) = 2(\cos\frac{\pi}{3}\sin\theta + \sin\frac{\pi}{3}\cos\theta) = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$.

$0 \leq \theta \leq \pi$ より、$\frac{\pi}{3} \leq \theta + \frac{\pi}{3} \leq \frac{4}{3}\pi$.

この範囲で $\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の最大値は $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき $1$。したがって、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値は $2 \cdot 1 = 2$.

最小値は $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4}{3}\pi$ のとき $\sin(\frac{4}{3}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.したがって、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の最小値は $2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$.

(3) $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

$0 \leq \theta \leq \pi$ より、$\frac{\pi}{3} \leq \theta + \frac{\pi}{3} \leq \frac{4}{3}\pi$.

$\sin x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{7}{6}\pi$ および $x = \frac{11}{6}\pi$ であるが、$\frac{\pi}{3} \leq \theta + \frac{\pi}{3} \leq \frac{4}{3}\pi$ の範囲では $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{7}{6}\pi$のみが該当する。

したがって、$\theta = \frac{7}{6}\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{7}{6}\pi - \frac{2}{6}\pi = \frac{5}{6}\pi$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $2$、最大値：$2$、最小値：$-\sqrt{3}$

(3) $\theta = \frac{5}{6}\pi$