与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。 $\frac{1}{6} \log 225 - \frac{1}{3} \log 210$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。

$\frac{1}{6} \log 225 - \frac{1}{3} \log 210$

2. 解き方の手順

まず、対数の底が指定されていないため、常用対数（底が10）であると仮定して計算を進めます。対数の性質を利用して式を簡略化します。

(1) 係数を対数の中に入れる:

$\frac{1}{6} \log 225 = \log (225)^{\frac{1}{6}}$

$\frac{1}{3} \log 210 = \log (210)^{\frac{1}{3}}$

したがって、式は次のようになります。

$\log (225)^{\frac{1}{6}} - \log (210)^{\frac{1}{3}}$

(2) 対数の引き算を割り算に変換する:

$\log (225)^{\frac{1}{6}} - \log (210)^{\frac{1}{3}} = \log \frac{(225)^{\frac{1}{6}}}{(210)^{\frac{1}{3}}}$

(3) 式を簡略化するために、$225 = 15^2$、$210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$ であることを利用します。

$\log \frac{(15^2)^{\frac{1}{6}}}{(210)^{\frac{1}{3}}} = \log \frac{15^{\frac{1}{3}}}{(210)^{\frac{1}{3}}} = \log \left( \frac{15}{210} \right)^{\frac{1}{3}}$

(4) 分数を簡略化する:

$\frac{15}{210} = \frac{1}{14}$

したがって、

$\log \left( \frac{1}{14} \right)^{\frac{1}{3}} = \log \left( \frac{1}{\sqrt[3]{14}} \right) = \log (14^{-\frac{1}{3}}) = -\frac{1}{3} \log 14$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} \log 14$