与えられた対数計算を解く問題です。 $\frac{1}{6} \log_{225} - \frac{1}{3} \log_{210}$を計算します。

代数学対数対数計算底の変換対数の性質
2025/3/13

1. 問題の内容

与えられた対数計算を解く問題です。
16log22513log210\frac{1}{6} \log_{225} - \frac{1}{3} \log_{210}を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた対数の底が異なるため、底の変換公式を適用し、共通の底に揃えることを試みます。しかし、与えられた式をよく見ると、 log225\log_{225}log210\log_{210} を共通の底に変換しても、計算が簡単になるようには思えません。
そのため、問題の意図を別の角度から考察します。
log225\log_{225}log152=2log15\log_{15^2} = 2\log_{15} と変形できます。
log210\log_{210} については、 210=2×3×5×7210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 と素因数分解できるので、 log(2×3×5×7)\log(2 \times 3 \times 5 \times 7) となります。
この分解は、log\log の性質を用いて log2+log3+log5+log7\log 2 + \log 3 + \log 5 + \log 7 と展開できますが、 13\frac{1}{3} が掛かっているため、計算が簡単になる見込みは低いでしょう。
ここで、問題文に誤りがないか確認します。もし、最初の対数の底が225ではなく、15であれば、問題は解きやすくなります。また、2つ目の対数の底が210ではなく10であった場合は、同様に計算が容易になります。
もし、元の問題が 16log1513log10\frac{1}{6} \log_{15} - \frac{1}{3} \log_{10} であったと仮定すると、問題を解くことが困難であるため、問題文が正しくない可能性が高いです。
問題文が正しく、計算機を使用できるのであれば、log225=0.4771\log_{225} = 0.4771 であり、log210=2.3222\log_{210} = 2.3222 であるため、
16log22513log210=16(0.4771)13(2.3222)=0.07950.7741=0.6946\frac{1}{6} \log_{225} - \frac{1}{3} \log_{210} = \frac{1}{6} (0.4771) - \frac{1}{3}(2.3222) = 0.0795 - 0.7741 = -0.6946 となります。

3. 最終的な答え

問題文が正しいと仮定した場合、近似値として-0.6946となります。問題文に誤りがある場合は、問題を修正していただく必要があります。
-0.6946 (概算)

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