円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -x + k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -x + k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を1つ持つということは、直線が円に接することを意味します。

直線 $y = -x + k$ を円の方程式 $x^2 + y^2 = 5$ に代入します。

$x^2 + (-x + k)^2 = 5$

$x^2 + (x^2 - 2kx + k^2) = 5$

$2x^2 - 2kx + k^2 - 5 = 0$

この2次方程式が1つの解を持つためには、判別式 $D$ が0でなければなりません。

$D = (-2k)^2 - 4(2)(k^2 - 5) = 0$

$4k^2 - 8(k^2 - 5) = 0$

$4k^2 - 8k^2 + 40 = 0$

$-4k^2 + 40 = 0$

$4k^2 = 40$

$k^2 = 10$

$k = \pm \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$k = \pm \sqrt{10}$