$x+y=4$、$xy=-10$ のとき、(1) $x^2+y^2$ と (2) $x^3y+xy^3$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$x+y=4$、$xy=-10$ のとき、(1) $x^2+y^2$ と (2) $x^3y+xy^3$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x^2+y^2$ について考えます。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x+y=4$、$xy=-10$ を代入すると、

$x^2+y^2 = 4^2 - 2(-10) = 16 + 20 = 36$

(2) $x^3y + xy^3$ について考えます。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2+y^2)$ と変形できます。

(1)の結果から $x^2+y^2 = 36$ であり、$xy=-10$ なので、

$x^3y + xy^3 = (-10)(36) = -360$

3. 最終的な答え

(1) $x^2+y^2 = 36$

(2) $x^3y + xy^3 = -360$