円と線分の交点に関する問題で、線分 $PC$ の長さ $x$ を求める問題です。図には、点 $P$、点 $A$、点 $B$、点 $C$、点 $D$ があり、$PA = 5$ cm、$AB = 7$ cm、$CD = 11$ cm、$PC = x$ cmとなっています。

1. 問題の内容

円と線分の交点に関する問題で、線分 $PC$ の長さ $x$ を求める問題です。図には、点 $P$、点 $A$、点 $B$、点 $C$、点 $D$ があり、$PA = 5$ cm、$AB = 7$ cm、$CD = 11$ cm、$PC = x$ cmとなっています。

2. 解き方の手順

この問題は、方べきの定理を利用して解きます。方べきの定理とは、円の内部または外部の点から引かれた2つの直線が円と交わるとき、交点までの距離の積が一定になるという定理です。

この問題の場合、点 $P$ から円に引かれた直線 $PAB$ と $PCD$ について、以下の関係が成り立ちます。

$PA \times PB = PC \times PD$

ここで、$PB = PA + AB = 5 + 7 = 12$ cm、そして $PD = PC + CD = x + 11$ cm です。

これらの値を上記の式に代入すると、

$5 \times 12 = x \times (x + 11)$

$60 = x^2 + 11x$

$x^2 + 11x - 60 = 0$

この2次方程式を解くために、因数分解を試みます。

$(x - 4)(x + 15) = 0$

したがって、$x = 4$ または $x = -15$ となります。

$x$ は線分の長さなので、負の値はありえません。

3. 最終的な答え

$x = 4$

答え: 4 cm