円と円外の点Pからの2本の割線が与えられています。線分PAの長さをx cm、線分PBの長さを6 cm、線分PCの長さを5 cm、線分PDの長さを3 cmとします。このとき、xの値を求めます。

1. 問題の内容

円と円外の点Pからの2本の割線が与えられています。線分PAの長さをx cm、線分PBの長さを6 cm、線分PCの長さを5 cm、線分PDの長さを3 cmとします。このとき、xの値を求めます。

2. 解き方の手順

円の外部の一点から引いた割線に関する定理を使用します。この定理によれば、円外の点Pから円に引いた2本の割線PAとPB、PCとPDについて、以下の関係が成り立ちます。

$PA \times PB = PC \times PD$

与えられた値を代入します。

$x \times (x + 6) = 5 \times (5+3)$

$PA = x$, $PB = PA + AB$なので$PB = x + 6$となります。また、$PC = 5$, $PD = PC + CD$なので$PD = 5+3 = 8$となります。

$x(x+6) = 5(5+3)$

$x(x+6) = 5 \times 8$

$x(x+6) = 40$

$x^2 + 6x = 40$

$x^2 + 6x - 40 = 0$

二次方程式を解きます。因数分解すると

$(x+10)(x-4) = 0$

$x = -10$ または $x = 4$

xは長さなので正の値を取ります。

したがって、$x = 4$となります。

3. 最終的な答え

4 cm