円の外部の点Pから円に引いた2本の直線が円と交わっています。PA = 3cm, AB = 3cm, CD = 7cm, PC = x cm のとき、x の値を求めなさい。

1. 問題の内容

円の外部の点Pから円に引いた2本の直線が円と交わっています。PA = 3cm, AB = 3cm, CD = 7cm, PC = x cm のとき、x の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

これは方べきの定理を利用する問題です。点Pから円に引いた2本の直線と円との交点をそれぞれA, BとC, Dとすると、方べきの定理より、

$PA \times PB = PC \times PD$

が成り立ちます。

図から、PA = 3 cm, AB = 3 cmなので、PB = PA + AB = 3 + 3 = 6 cm です。また、PC = x cm, CD = 7 cmなので、PD = PC + CD = x + 7 cm です。

したがって、

$3 \times 6 = x \times (x + 7)$

$18 = x^2 + 7x$

$x^2 + 7x - 18 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$(x + 9)(x - 2) = 0$

$x = -9$ または $x = 2$

x は長さを表すので、正の値である必要があります。したがって、$x = 2$ となります。

3. 最終的な答え

2 cm