関数 $g(x) = |x|(e^x - 1)$ について、 $g(x)$ が微分可能かどうかを調べる。$x \geq 0$ のとき $g(x) = x(e^x - 1)$、$x < 0$ のとき $g(x) = -x(e^x - 1)$ となる。$g(x)$ は $x = 0$ 以外で微分可能であることが明らかなのはなぜか、という問題である。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = |x|(e^x - 1)$ について、 $g(x)$ が微分可能かどうかを調べる。$x \geq 0$ のとき $g(x) = x(e^x - 1)$、$x < 0$ のとき $g(x) = -x(e^x - 1)$ となる。$g(x)$ は $x = 0$ 以外で微分可能であることが明らかなのはなぜか、という問題である。

2. 解き方の手順

$x \ne 0$ の場合に $g(x)$ が微分可能であることを示す。

* $x > 0$ の場合、 $g(x) = x(e^x - 1)$ である。$x$ と $e^x-1$ はいずれも微分可能な関数なので、それらの積である $g(x)$ も微分可能である。

* $x < 0$ の場合、 $g(x) = -x(e^x - 1)$ である。$-x$ と $e^x-1$ はいずれも微分可能な関数なので、それらの積である $g(x)$ も微分可能である。

したがって、$x \ne 0$ において $g(x)$ は微分可能である。

3. 最終的な答え

$x = 0$ 以外で $g(x)$ が微分可能であるのは、

* $x > 0$ のとき、$g(x) = x(e^x - 1)$ であり、 $x$ と $e^x - 1$ はそれぞれ微分可能なので、それらの積である $g(x)$ も微分可能である。

* $x < 0$ のとき、$g(x) = -x(e^x - 1)$ であり、 $-x$ と $e^x - 1$ はそれぞれ微分可能なので、それらの積である $g(x)$ も微分可能である。

ため。