画像に書かれている内容は、関数の連続性に関する条件と、片側極限に関する質問です。 具体的には、 (1) 関数 $f(x)$ が $x=a$ で定義されていること。つまり、$f(a)$ が存在すること。 (2) $x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の極限 $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在すること。 (3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つこと。 上記３つの条件が連続関数の定義として挙げられています。 そして、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ という条件が、両側極限のことを指しているのか質問しています。

1. 問題の内容

画像に書かれている内容は、関数の連続性に関する条件と、片側極限に関する質問です。

具体的には、

(1) 関数 $f(x)$ が $x=a$ で定義されていること。つまり、$f(a)$ が存在すること。

(2) $x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の極限 $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在すること。

(3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つこと。

上記３つの条件が連続関数の定義として挙げられています。

そして、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ という条件が、両側極限のことを指しているのか質問しています。

2. 解き方の手順

連続性の定義と極限の定義を確認します。

関数 $f(x)$ が $x = a$ で連続であるとは、上記の (1), (2), (3) の条件がすべて満たされることを意味します。

$\lim_{x \to a} f(x)$ が存在するためには、左側極限 $\lim_{x \to a-0} f(x)$ と右側極限 $\lim_{x \to a+0} f(x)$ が存在し、かつ両者が等しい必要があります。

つまり、

$\lim_{x \to a-0} f(x) = \lim_{x \to a+0} f(x)$

が成り立つ必要があります。この共通の値を $\lim_{x \to a} f(x)$ と書きます。

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つためには、両側極限 $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する必要があり、その値が $f(a)$ に等しい必要があります。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ は、両側の極限（つまり、左側極限と右側極限が一致する）であることを意味します。