三角形ABCにおいて、$a=8$, $A=45^\circ$, $B=30^\circ$, $C=105^\circ$ が与えられているとき、$b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=8$, $A=45^\circ$, $B=30^\circ$, $C=105^\circ$ が与えられているとき、$b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて $b$ の値を求める。

正弦定理とは、三角形ABCにおいて、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

が成り立つというものである。

この問題では、$a$ と $A$ が分かっており、$b$ と $B$ が分かっていないが、角Cも分かっている。

したがって、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ の関係式を利用して、$b$ の値を求めることができる。

$\frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 105^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

したがって、

$\frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

$\frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{4b}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$\frac{4\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \cdot 2 = \frac{4b(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$

$\frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{4b}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$16(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}b$

$b = \frac{16(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 4(\sqrt{3}+1)$

$b = 4(\sqrt{3}+1) \approx 4(1.732+1) \approx 4(2.732) \approx 10.928$

3. 最終的な答え

$b = 4(1+\sqrt{3})$