問題は4つの小問から構成されています。 (1) 図の直角三角形における $sin \theta$, $cos \theta$, $tan \theta$ の値を求める。 (2) $\theta$ が鈍角で $cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$sin \theta$ と $tan \theta$ の値を求める。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ の値を求める。 (4) $sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

1. 問題の内容

問題は4つの小問から構成されています。

(1) 図の直角三角形における $sin \theta$, $cos \theta$, $tan \theta$ の値を求める。

(2) $\theta$ が鈍角で $cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$sin \theta$ と $tan \theta$ の値を求める。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ の値を求める。

(4) $sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

2. 解き方の手順

(1)

直角三角形ABCにおいて、三平方の定理より、斜辺ACの長さは、

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3}$

したがって、

$sin \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$cos \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$tan \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2)

$\theta$ が鈍角なので、$sin \theta > 0$, $tan \theta < 0$ である。

$sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$ より、

$sin^2 \theta = 1 - cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$sin \theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$tan \theta = \frac{sin \theta}{cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

(3)

(1) $sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$60^\circ$ と $120^\circ$ である。

(2) $tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ は、$135^\circ$ である。

(4)

$sin(180^\circ - \theta) = sin \theta$ より、

$sin 115^\circ = sin(180^\circ - 115^\circ) = sin 65^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$, $tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$, $tan \theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

(3) (1) $\theta = 60^\circ$, $\theta = 120^\circ$ (2) $\theta = 135^\circ$

(4) $sin 115^\circ = sin 65^\circ$