3つの三角形に関する問題です。 * 問題5: $\triangle ABC$において、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$のとき、$CA$の長さと外接円の半径$R$を求めます。 * 問題6: $\triangle ABC$において、$AB=3$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=2$のとき、$\angle A$を求めます。 * 問題7: $\triangle ABC$において、$AB=8$, $BC=3\sqrt{3}$, $B=135^\circ$のとき、$\triangle ABC$の面積$S$を求めます。

1. 問題の内容

3つの三角形に関する問題です。

* 問題5: $\triangle ABC$において、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$のとき、$CA$の長さと外接円の半径$R$を求めます。

* 問題6: $\triangle ABC$において、$AB=3$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=2$のとき、$\angle A$を求めます。

* 問題7: $\triangle ABC$において、$AB=8$, $BC=3\sqrt{3}$, $B=135^\circ$のとき、$\triangle ABC$の面積$S$を求めます。

2. 解き方の手順

* 問題5:

* $\angle C$を求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$です。

* 正弦定理を用いて、$CA$の長さを求めます。正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$なので、

$CA = \frac{AB \sin B}{\sin C} = \frac{4 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{6}$

したがって、$CA = 2\sqrt{6}$ です。

* 外接円の半径$R$を求めます。正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = 2R$なので、

$R = \frac{AB}{2 \sin C} = \frac{4}{2 \sin 45^\circ} = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

したがって、$R = 2\sqrt{2}$ です。

* 問題6:

* 余弦定理を用いて、$\cos A$を求めます。余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos A$なので、

$\cos A = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2AB \cdot CA} = \frac{3^2 + 2^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9+4-7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

したがって、$\cos A = \frac{1}{2}$です。

* $\angle A$を求めます。$\cos A = \frac{1}{2}$より、$A = 60^\circ$です。

* 問題7:

* 三角形の面積の公式$S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \sin B$を用いて面積を求めます。

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin 135^\circ = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{24\sqrt{6}}{4} = 6\sqrt{6}$

したがって、$S = 6\sqrt{6}$です。

3. 最終的な答え

* 問題5: $CA = 2\sqrt{6}$, $R = 2\sqrt{2}$

* 問題6: $A = 60^\circ$

* 問題7: $S = 6\sqrt{6}$