三角形$ABC$において、$AB = 7$, $BC = 5$, $CA = 3$であるとき、$\angle C$の大きさを求めなさい。

1. 問題の内容

三角形$ABC$において、$AB = 7$, $BC = 5$, $CA = 3$であるとき、$\angle C$の大きさを求めなさい。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて$\cos C$を求める。

余弦定理は、$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos C$で表される。

問題文の値を代入すると、

$7^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos C$

$49 = 25 + 9 - 30 \cos C$

$49 = 34 - 30 \cos C$

$15 = -30 \cos C$

$\cos C = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$

$\cos C = -\frac{1}{2}$となる角度$C$を求める。

$C = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle C = 120^\circ$