5つの店A〜Eにおける商品Pの販売数（変量 $x$）と商品Qの販売数（変量 $y$）が与えられた表に基づき、以下の問いに答える問題です。 (1) 変量 $x$ の分散と標準偏差を求める。 (2) 変量 $x$ と $y$ の共分散を求める。 (3) 変量 $x$ と $y$ の相関係数を求める。 (4) 変量 $x$ と $y$ の間の相関関係を、選択肢から選ぶ。

はい、この問題を解きましょう。

1. 問題の内容

5つの店A〜Eにおける商品Pの販売数（変量 $x$）と商品Qの販売数（変量 $y$）が与えられた表に基づき、以下の問いに答える問題です。

(1) 変量 $x$ の分散と標準偏差を求める。

(2) 変量 $x$ と $y$ の共分散を求める。

(3) 変量 $x$ と $y$ の相関係数を求める。

(4) 変量 $x$ と $y$ の間の相関関係を、選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、表を完成させましょう。

- $x$ の平均値 $\bar{x} = \frac{25}{5} = 5$

- $y$ の平均値 $\bar{y} = \frac{20}{5} = 4$

| 店 | $x$ | $y$ | $x - \bar{x}$ | $y - \bar{y}$ | $(x - \bar{x})^2$ | $(y - \bar{y})^2$ | $(x - \bar{x})(y - \bar{y})$ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| A | 5 | 3 | 0 | -1 | 0 | 1 | 0 |

| B | 4 | 3 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 |

| C | 8 | 5 | 3 | 1 | 9 | 1 | 3 |

| D | 2 | 2 | -3 | -2 | 9 | 4 | 6 |

| E | 6 | 7 | 1 | 3 | 1 | 9 | 3 |

| 計 | 25 | 20 | | | 20 | 16 | 13 |

(1) $x$ の分散は、$s_x^2 = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{20}{5} = 4$

$x$ の標準偏差は、$s_x = \sqrt{s_x^2} = \sqrt{4} = 2$

(2) $x$ と $y$ の共分散は、$s_{xy} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{13}{5} = 2.6$

(3) $y$ の分散は、$s_y^2 = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5}(y_i - \bar{y})^2 = \frac{16}{5} = 3.2$

$y$ の標準偏差は、$s_y = \sqrt{s_y^2} = \sqrt{3.2} = \sqrt{\frac{16}{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{4 \times 2.2}{5} = \frac{8.8}{5} = 1.76$

$x$ と $y$ の相関係数は、$r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{2.6}{2 \times 1.76} = \frac{2.6}{3.52} \approx 0.7386$

小数第2位で四捨五入すると、0.7

(4) 相関係数が0.7であるから、$x$ と $y$ の間には正の相関がある。

3. 最終的な答え

(1) $x$ の分散は 4、標準偏差は 2 個である。

(2) $x$ と $y$ の共分散は 2.6 である。

(3) $x$ と $y$ の相関係数は 0.7 である。

(4) $x$ と $y$ の間には 1 。