三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを1:2に内分し、点Rは辺ACを3:1に内分します。線分AQとBRの交点をOとするとき、線分AOと線分OQの長さの比AO:OQを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを1:2に内分し、点Rは辺ACを3:1に内分します。線分AQとBRの交点をOとするとき、線分AOと線分OQの長さの比AO:OQを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができます。

まず、チェバの定理より、

$\frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} \cdot \frac{AP}{PB} = 1$

が成り立ちます。ここで、Pは直線COと辺ABの交点です。

問題の条件より、$\frac{BQ}{QC} = \frac{1}{2}$, $\frac{CR}{RA} = \frac{1}{3}$なので、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{AP}{PB} = 1$

$\frac{AP}{PB} = 6$

次に、三角形BCRに直線AQについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CA}{AR} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

問題の条件より、$\frac{BQ}{QC} = \frac{1}{2}$, $\frac{AR}{AC} = \frac{1}{4}$なので、$\frac{CA}{AR} = 4$

$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{RO}{OB} = \frac{1}{2}$

同様に、三角形BCRに直線BRについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{CR}{RA} = \frac{3}{1}$,

三角形ACQに直線BRについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

問題の条件より、$\frac{AR}{RC} = \frac{1}{3}$, $\frac{BQ}{BC} = \frac{1}{3}$なので、$\frac{CB}{BQ} = 3$

$\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{QO}{OA} = 1$

よって$\frac{OA}{QO} = 3$

3. 最終的な答え

AO:OQ = 3:1