三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを1:2に内分し、点Rは辺ACを3:1に内分する。このとき、AO:OQを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを1:2に内分し、点Rは辺ACを3:1に内分する。このとき、AO:OQを求める。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理、またはメネラウスの定理とベクトルの知識を使って解くことができます。ここではベクトルの知識を使う方法で解きます。

点Aを始点とする位置ベクトルを考えます。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ とします。

点Qは辺BCを1:2に内分するので、

$\vec{AQ} = \frac{2\vec{AB} + 1\vec{AC}}{1+2} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

点Rは辺ACを3:1に内分するので、

$\vec{AR} = \frac{3}{4}\vec{c}$

直線AO上の点Oは、ある実数$k$を用いて

$\vec{AO} = k \vec{AQ} = \frac{2k}{3}\vec{b} + \frac{k}{3}\vec{c}$

と表せる。

一方、点Oは直線BR上にもあるので、実数$s$を用いて

$\vec{AO} = s\vec{AB} + (1-s)\vec{AR} = s\vec{b} + (1-s)\frac{3}{4}\vec{c}$

と表せる。

よって、

$\frac{2k}{3}\vec{b} + \frac{k}{3}\vec{c} = s\vec{b} + \frac{3(1-s)}{4}\vec{c}$

$\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{2k}{3} = s$

$\frac{k}{3} = \frac{3(1-s)}{4}$

この連立方程式を解く。

$s = \frac{2k}{3}$を2番目の式に代入して

$\frac{k}{3} = \frac{3(1-\frac{2k}{3})}{4}$

$\frac{k}{3} = \frac{3(3-2k)}{12} = \frac{9-6k}{12}$

$4k = 27 - 18k$

$22k = 27$

$k = \frac{27}{22}$

$\vec{AO} = k\vec{AQ}$だったので、

$\vec{AO} = \frac{27}{22} \vec{AQ}$

これはAO : AQ = 27 : 22を表す。

したがって、AO : OQ = 27 : (27-22) = 27 : 5

3. 最終的な答え

AO : OQ = 27 : 5