与えられた3つの関数を微分し、それぞれの式の空欄に当てはまる数字を答える問題です。 (1) $y = e^{\frac{1}{2}x} \sin^2 x$ (2) $y = \frac{1}{3}x(\log x - 1)$ (3) $y = \sqrt{xe^{2x^2+3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分し、それぞれの式の空欄に当てはまる数字を答える問題です。

(1) $y = e^{\frac{1}{2}x} \sin^2 x$

(2) $y = \frac{1}{3}x(\log x - 1)$

(3) $y = \sqrt{xe^{2x^2+3}}$

2. 解き方の手順

(1) 積の微分公式と合成関数の微分公式を利用します。

$y' = (e^{\frac{1}{2}x})' \sin^2 x + e^{\frac{1}{2}x} (\sin^2 x)'$

$y' = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \sin^2 x + e^{\frac{1}{2}x} (2 \sin x \cos x)$

$y' = e^{\frac{1}{2}x} \sin x (\frac{1}{2} \sin x + 2 \cos x)$

よって、空欄には $\frac{1}{2}$ と $2$ が当てはまります。

(2) 積の微分公式を利用します。

$y' = \frac{1}{3}(x)' (\log x - 1) + \frac{1}{3} x (\log x - 1)'$

$y' = \frac{1}{3} (\log x - 1) + \frac{1}{3} x (\frac{1}{x})$

$y' = \frac{1}{3} \log x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

$y' = \frac{1}{3} \log x$

よって、空欄には $\frac{1}{3}$ が当てはまります。

(3) 合成関数の微分公式と積の微分公式を利用します。

$y = \sqrt{xe^{2x^2+3}} = (xe^{2x^2+3})^{\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{1}{2}(xe^{2x^2+3})^{-\frac{1}{2}}(xe^{2x^2+3})'$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{xe^{2x^2+3}}} (x'e^{2x^2+3}+x(e^{2x^2+3})')$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{xe^{2x^2+3}}} (e^{2x^2+3}+x e^{2x^2+3} (4x))$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{xe^{2x^2+3}}} (e^{2x^2+3}+4x^2e^{2x^2+3})$

$y' = \frac{e^{2x^2+3}(1+4x^2)}{2\sqrt{xe^{2x^2+3}}} = \frac{\sqrt{e^{2x^2+3}}(1+4x^2)}{2\sqrt{x}}$

$y' = \sqrt{e^{2x^2+3}} (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^{3/2})$

$y' = \frac{\sqrt{xe^{2x^2+3}} e^{2x^2+3}}{xe^{2x^2+3}} (\frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4x)$

$y' = \sqrt{xe^{2x^2+3}} \frac{e^{2x^2+3}}{\sqrt{xe^{2x^2+3}}} (\frac{1}{2x} + 4x)$

$y' = \frac{\sqrt{e^{2x^2+3}}}{\sqrt{x}} e^{2x^2+3}(\frac{1}{2x} + 4x) = e^{2x^2+3} (\frac{1}{2\sqrt{x}} x^{-1/2}+ 4 x^{3/2})$

$y' = \frac{1}{2}(xe^{2x^2+3})^{-\frac{1}{2}} (e^{2x^2+3}+4x^2e^{2x^2+3}) = \frac{e^{2x^2+3}}{2 \sqrt{x e^{2x^2+3}}}(1+4x^2)$

$y' = \frac{e^{2x^2+3}(1+4x^2)}{2 \sqrt{x e^{2x^2+3}}}$

元の式から考えると、

$y' = e^{2x^2+3} (\frac{1}{2}x^{-1/2} + 2x^{3/2})$

したがって、空欄にはそれぞれ $\frac{1}{2}$ と $4$ が入ります。

$y' = e^{2x^2+3} (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 2\sqrt{x} \cdot (2x) = e^{2x^2+3} ( \frac{1}{2} x^{-1/2} + 4 x^{3/2})$

空欄には$\frac{1}{2}$と$4$が入ります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$ と $2$

(2) $\frac{1}{3}$

(3) $\frac{1}{2}$ と $4$