放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x+3$ がある。AとBは放物線と直線の交点である。Bを通りx軸に平行な直線と放物線の交点をCとする。 (1) 点A, Bの座標をそれぞれ求めよ。 (2) 放物線上の点で、2点B, Cの間に点Pをとり、$\triangle PBC = \frac{1}{2} \triangle ABC$ となる点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x+3$ がある。AとBは放物線と直線の交点である。Bを通りx軸に平行な直線と放物線の交点をCとする。

(1) 点A, Bの座標をそれぞれ求めよ。

(2) 放物線上の点で、2点B, Cの間に点Pをとり、$\triangle PBC = \frac{1}{2} \triangle ABC$ となる点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bは放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x+3$ の交点であるから、$x^2 = 2x+3$ を解く。

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = 3, -1$

$x=3$ のとき $y=3^2 = 9$

$x=-1$ のとき $y=(-1)^2 = 1$

よって、A(-1, 1), B(3, 9) である。

(2) 点Cは、点B(3, 9)を通りx軸に平行な直線 $y=9$ と放物線 $y=x^2$ の交点であるから、$x^2 = 9$ を解く。

$x = \pm 3$

点Bと異なるので $x = -3$

よって C(-3, 9) である。

点Pのx座標を $t$ とすると、$y=x^2$ より、$P(t, t^2)$ である。ただし、$-3 < t < 3$ とする。

BCを底辺と考えると、$\triangle PBC = \frac{1}{2} \triangle ABC$ より、点Pと直線BCの距離は、点Aと直線BCの距離の$\frac{1}{2}$倍になる。

直線BCは $y=9$ であるから、点A(-1, 1) と直線BCの距離は $9-1=8$ である。

点P(t, $t^2$) と直線BC $y=9$ の距離は $|9 - t^2|$ である。

よって $|9 - t^2| = \frac{1}{2} \times 8 = 4$

$9 - t^2 = \pm 4$

$9 - t^2 = 4$ のとき、$t^2 = 5$ より $t = \pm \sqrt{5}$。$-3 < t < 3$ より、$t = \pm \sqrt{5}$ は条件を満たす。

$9 - t^2 = -4$ のとき、$t^2 = 13$ より $t = \pm \sqrt{13}$。$-3 < t < 3$ を満たさない。

よって、$t = \pm \sqrt{5}$

$P(\sqrt{5}, 5)$ または $P(-\sqrt{5}, 5)$

3. 最終的な答え

(1) A(-1, 1), B(3, 9)

(2) $(\sqrt{5}, 5)$, $(-\sqrt{5}, 5)$