与えられた式 $a^2 + ab + 3a + 2b + 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + ab + 3a + 2b + 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$a$ を含む項をまとめます。

$a^2 + ab + 3a + 2b + 2 = a^2 + (b+3)a + (2b+2)$

次に、たすき掛けができるように、定数項 $2b+2$ を因数分解します。

$2b+2 = 2(b+1)$

ここで、与式が因数分解できると仮定し、

$a^2 + (b+3)a + 2(b+1) = (a+x)(a+y)$

とおきます。展開すると、

$(a+x)(a+y) = a^2 + (x+y)a + xy$

係数を比較すると、

$x+y = b+3$

$xy = 2(b+1)$

となるような $x, y$ を見つけることを目指します。

$x = 2$、$y = b+1$ とすると、

$x+y = 2 + (b+1) = b+3$

$xy = 2(b+1)$

となり、条件を満たします。

したがって、

$a^2 + ab + 3a + 2b + 2 = (a+2)(a+b+1)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a+2)(a+b+1)$