赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻すという試行を4回繰り返すとき、赤玉が2回出る確率を求める問題です。

1. 問題の内容

赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻すという試行を4回繰り返すとき、赤玉が2回出る確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題です。

まず、1回の試行で赤玉が出る確率を求めます。

赤玉は4個、白玉は2個なので、全部で6個の玉が入っています。

したがって、1回の試行で赤玉が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

同様に、白玉が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

4回の試行で赤玉が2回出る確率は、二項分布の考え方を使って計算できます。

二項分布の確率の公式は以下の通りです。

$P(X=k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、

$n$ は試行回数

$k$ は成功回数（ここでは赤玉が出る回数）

$p$ は1回の試行で成功する確率（ここでは赤玉が出る確率）

${}_n C_k$ は二項係数（組み合わせ）で、$\frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算できます。

今回の問題では、$n=4$, $k=2$, $p=\frac{2}{3}$ です。

したがって、求める確率は

$P(X=2) = {}_4 C_2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^2$

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

$P(X=2) = 6 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{27}$