長方形ABCDにおいて、点Pと点QがそれぞれAからBを通ってCまで、AからDを通ってCまで、毎秒1cmで移動します。点PがAを出発してからの時間を$x$秒、$\triangle APC$の面積を$y\ \text{cm}^2$としたとき、$x$と$y$の関係がグラフで与えられています。$\triangle APC$と$\triangle AQC$の面積が等しくなる回数を、点Pと点QがCに着くまでで数えます。面積が0になる場合は考えないものとします。

## 問題9

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、点Pと点QがそれぞれAからBを通ってCまで、AからDを通ってCまで、毎秒1cmで移動します。点PがAを出発してからの時間を$x$秒、$\triangle APC$の面積を$y\ \text{cm}^2$としたとき、$x$と$y$の関係がグラフで与えられています。$\triangle APC$と$\triangle AQC$の面積が等しくなる回数を、点Pと点QがCに着くまでで数えます。面積が0になる場合は考えないものとします。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle APC$の面積$y$を$x$の関数として表します。

- $0 \le x \le 6$のとき、Pは辺AB上にあり、AP = $x$ cm。

$y = \frac{1}{2} \times AC \times (\text{PからACまでの距離}) = \frac{1}{2} \times 8 \times x = 4x$

- $6 \le x \le 14$のとき、Pは辺BC上にあり、PC = $(14 - x)$ cm。

$y = \frac{1}{2} \times AC \times (\text{PからACまでの距離}) = \frac{1}{2} \times 8 \times (14 - x) = 48 - 4x$

次に、$\triangle AQC$の面積を$x$の関数として表します。

- $0 \le x \le 8$のとき、Qは辺AD上にあり、AQ = $x$ cm。

$\triangle AQC = \frac{1}{2} \times AQ \times AB = \frac{1}{2} \times x \times 6 = 3x$

- $8 \le x \le 14$のとき、Qは辺DC上にあり、QC = $(16 - x)$ cm。

$\triangle AQC = \frac{1}{2} \times QC \times AB = \frac{1}{2} \times (16 - x) \times 6 = 48 - 3x$

$\triangle APC = \triangle AQC$となるのは、それぞれの面積を表す関数が等しくなるときです。

- $0 \le x \le 6$のとき：

$4x = 3x \Rightarrow x = 0$ (ただし、$0cm^2$は考えないため、この場合を除く)

- $6 \le x \le 8$のとき：

$48 - 4x = 3x \Rightarrow 48 = 7x \Rightarrow x = \frac{48}{7} \approx 6.86$ (この解は$6 \le x \le 8$を満たす)

- $8 \le x \le 14$のとき：

$48 - 4x = 48 - 3x \Rightarrow 4x = 3x \Rightarrow x = 0$ (不適)

- $6 \le x \le 14, 8 \le x \le 14$、つまり$8 \le x \le 14$のとき:

PはBC上にいて、QはDC上にいる。

$48-4x = 48-3x \Rightarrow x = 0$ (不適)

グラフを用いると、$\triangle APC$と$\triangle AQC$の面積が等しくなるのは、グラフの交点の数から、x=0を除く回数です。グラフを描画するか、上記の計算から、交点は1回だけです。

3. 最終的な答え

1回

## 問題10

1. 問題の内容

直線 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ と、$x$軸、$y$軸との交点をそれぞれA, Bとする。$\triangle OAB$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線と$x$軸、$y$軸との交点を求める。

$x$軸との交点A：$y=0$ を代入して、$0 = -\frac{1}{2}x + 5$ より、$\frac{1}{2}x = 5$。 よって、$x = 10$。したがって、Aの座標は(10, 0)。

$y$軸との交点B：$x=0$ を代入して、$y = -\frac{1}{2}(0) + 5 = 5$。したがって、Bの座標は(0, 5)。

$\triangle OAB$ の面積は、底辺をOA、高さをOBとすると、

$\triangle OAB = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25$

3. 最終的な答え

25