三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 120^\circ$, $CA = 20$, $AB = 19$であるとき、以下の値を求める。 (1) $\sin A$ (2) $\tan A$ (3) $\triangle ABC$の面積 (4) $BC = a$ とするときの $a^2$ (5) $\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とするときの $R^2$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 120^\circ$, $CA = 20$, $AB = 19$であるとき、以下の値を求める。

(1) $\sin A$

(2) $\tan A$

(3) $\triangle ABC$の面積

(4) $BC = a$ とするときの $a^2$

(5) $\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とするときの $R^2$

2. 解き方の手順

(1) $\sin A$ の値を求める。$A = 120^\circ$なので、$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\tan A$ の値を求める。$\tan 120^\circ = \tan (180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$

(3) $\triangle ABC$ の面積を求める。$\triangle ABC$ の面積は $\frac{1}{2}bc\sin A$ で計算できる。

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 19 \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 19 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 95\sqrt{3}$

(4) $a^2$ を求める。余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ である。$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ なので、

$a^2 = 20^2 + 19^2 - 2 \cdot 20 \cdot 19 \cdot \cos 120^\circ = 400 + 361 - 2 \cdot 20 \cdot 19 \cdot (-\frac{1}{2}) = 400 + 361 + 380 = 1141$

(5) $R^2$ を求める。正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$ である。したがって、$R = \frac{a}{2\sin A}$ であり、$R^2 = \frac{a^2}{4\sin^2 A}$ である。

$R^2 = \frac{1141}{4 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{1141}{4 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{1141}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\tan A = -\sqrt{3}$

(3) $\triangle ABC = 95\sqrt{3}$

(4) $a^2 = 1141$

(5) $R^2 = \frac{1141}{3}$