(1) 2次関数 $y = -x^2 + 2$ のグラフを描く。 (2) (1) のグラフを x軸方向に 1, y軸方向に -2 だけ平行移動し、さらに x軸に関して対称移動したグラフの方程式を求める。 (3) (2) のグラフの頂点を求める。 (4) (1) のグラフと (2) のグラフの交点の座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = -x^2 + 2$ のグラフを描く。

(2) (1) のグラフを x軸方向に 1, y軸方向に -2 だけ平行移動し、さらに x軸に関して対称移動したグラフの方程式を求める。

(3) (2) のグラフの頂点を求める。

(4) (1) のグラフと (2) のグラフの交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 + 2$ のグラフは、放物線 $y = -x^2$ をy軸方向に2だけ平行移動したものである。頂点は $(0, 2)$、軸はy軸である。

(2)

まず、$y = -x^2 + 2$ をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動すると、

$y+2 = -(x-1)^2 + 2$

$y = -(x-1)^2$

次に、x軸に関して対称移動すると、

$-y = -(x-1)^2$

$y = (x-1)^2$

したがって、求めるグラフの方程式は、

$y = (x-1)^2$

(3) $y = (x-1)^2$ は $y = x^2$ をx軸方向に1だけ平行移動したものであり、頂点は$(1, 0)$である。

(4) (1) のグラフ $y = -x^2 + 2$ と (2) のグラフ $y = (x-1)^2$ の交点を求める。

$-x^2 + 2 = (x-1)^2$

$-x^2 + 2 = x^2 - 2x + 1$

$0 = 2x^2 - 2x - 1$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ のとき、

$y = -(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 + 2 = -(\frac{1+2\sqrt{3}+3}{4}) + 2 = -\frac{4+2\sqrt{3}}{4} + 2 = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ のとき、

$y = -(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2 + 2 = -(\frac{1-2\sqrt{3}+3}{4}) + 2 = -\frac{4-2\sqrt{3}}{4} + 2 = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2+\sqrt{3}}{2}$

よって、交点の座標は $(\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \frac{2-\sqrt{3}}{2})$ と $(\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{2+\sqrt{3}}{2})$

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略

(2) $y = (x-1)^2$

(3) $(1, 0)$

(4) $(\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \frac{2-\sqrt{3}}{2}), (\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{2+\sqrt{3}}{2})$