全体集合 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ と、その部分集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$, $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ が与えられています。以下の集合を求める問題です。 (1) $A \cup B$ (2) $A \cap B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cap \overline{B}$ (5) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ と、その部分集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$, $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ が与えられています。以下の集合を求める問題です。

(1) $A \cup B$

(2) $A \cap B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cap \overline{B}$

(5) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cup B$ (AとBの和集合): AとBの要素をすべて含んだ集合です。重複する要素は一度だけ含めます。

(2) $A \cap B$ (AとBの共通部分): AとBの両方に含まれる要素の集合です。

(3) $\overline{A} \cap B$: $\overline{A}$ は A の補集合であり、全体集合 U の中で A に含まれない要素の集合です。$\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と B の共通部分です。

(4) $A \cap \overline{B}$: $\overline{B}$ は B の補集合であり、全体集合 U の中で B に含まれない要素の集合です。$A \cap \overline{B}$ は A と $\overline{B}$ の共通部分です。

(5) $\overline{A \cup B}$: $A \cup B$ の補集合であり、全体集合 U の中で $A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

具体的に計算します。

(1) $A \cup B = \{0, 1, 2, 3\} \cup \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{0, 1, 2, 3, 5, 7, 9\}$

(2) $A \cap B = \{0, 1, 2, 3\} \cap \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{1, 3\}$

(3) まず $\overline{A}$ を求めます。$\overline{A} = U - A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{0, 1, 2, 3\} = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$。

次に $\overline{A} \cap B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{5, 7, 9\}$

(4) まず $\overline{B}$ を求めます。$\overline{B} = U - B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{0, 2, 4, 6, 8\}$

次に $A \cap \overline{B} = \{0, 1, 2, 3\} \cap \{0, 2, 4, 6, 8\} = \{0, 2\}$

(5) (1)で求めた $A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 5, 7, 9\}$ を使って、$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{0, 1, 2, 3, 5, 7, 9\} = \{4, 6, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 5, 7, 9\}$

(2) $A \cap B = \{1, 3\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{5, 7, 9\}$

(4) $A \cap \overline{B} = \{0, 2\}$

(5) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 8\}$