数列 $\{1+(-1)^n\}$ が与えられたとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1+(-1)^n}{n}$ を、はさみうちの原理を用いて求める。

1. 問題の内容

数列 $\{1+(-1)^n\}$ が与えられたとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1+(-1)^n}{n}$ を、はさみうちの原理を用いて求める。

2. 解き方の手順

$n$ が偶数のとき、$n = 2m$ とおくと、

$1 + (-1)^n = 1 + (-1)^{2m} = 1 + 1 = 2$

$n$ が奇数のとき、$n = 2m+1$ とおくと、

$1 + (-1)^n = 1 + (-1)^{2m+1} = 1 - 1 = 0$

したがって、$1 + (-1)^n$ は 0 または 2 の値を取る。

すなわち、

$0 \leq 1 + (-1)^n \leq 2$

となる。この不等式の各辺を $n$ で割ると、

$0 \leq \frac{1 + (-1)^n}{n} \leq \frac{2}{n}$

となる。

$n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n} \to 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1+(-1)^n}{n} = 0$

3. 最終的な答え

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