## 因数分解の問題

## 因数分解の問題

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1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。これらの式は、主に $a^3 + b^3$ または $a^3 - b^3$ の形をしています。

(1) $x^3 + 8$

(2) $a^3 - 125b^3$

(3) $8x^3 + 27$

(4) $64a^3 - 27b^3$

(5) $\frac{1}{27} + x^3$

(6) $x^3 - y^3z^3$

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2. 解き方の手順

これらの式は、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ または $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用して因数分解できます。

(1) $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$

$a = x, b = 2$ とすると、

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $a^3 - 125b^3 = a^3 - (5b)^3$

$a = a, b = 5b$ とすると、

$a^3 - (5b)^3 = (a - 5b)(a^2 + 5ab + 25b^2)$

(3) $8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3$

$a = 2x, b = 3$ とすると、

$(2x)^3 + 3^3 = (2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(4) $64a^3 - 27b^3 = (4a)^3 - (3b)^3$

$a = 4a, b = 3b$ とすると、

$(4a)^3 - (3b)^3 = (4a - 3b)(16a^2 + 12ab + 9b^2)$

(5) $\frac{1}{27} + x^3 = (\frac{1}{3})^3 + x^3$

$a = \frac{1}{3}, b = x$ とすると、

$(\frac{1}{3})^3 + x^3 = (\frac{1}{3} + x)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x + x^2)$

= $(x + \frac{1}{3})(x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9})$

(6) $x^3 - y^3z^3 = x^3 - (yz)^3$

$a = x, b = yz$ とすると、

$x^3 - (yz)^3 = (x - yz)(x^2 + xyz + y^2z^2)$

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3. 最終的な答え

(1) $(x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $(a - 5b)(a^2 + 5ab + 25b^2)$

(3) $(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(4) $(4a - 3b)(16a^2 + 12ab + 9b^2)$

(5) $(x + \frac{1}{3})(x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9})$

(6) $(x - yz)(x^2 + xyz + y^2z^2)$