三角形ABCにおいて、点Pは辺BCを2:1に内分し、点Qは辺ACを1:3に内分する。線分AQとBPの交点をRとするとき、AR:RBを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Pは辺BCを2:1に内分し、点Qは辺ACを1:3に内分する。線分AQとBPの交点をRとするとき、AR:RBを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理、またはベクトルの知識を使って解くことができます。ここでは、メネラウスの定理を利用した解法を示します。

まず、三角形ABCと直線BPにメネラウスの定理を適用します。

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

問題文から、BC:CP = 3:1なので、BP:PC = (2+1):1 = 3:1。したがって$\frac{BC}{CP}=3$です。

$AP = AC - PC$ であり、$AC = AQ+QC = AQ + 3AQ = 4AQ$ です。

$PC = \frac{1}{3}BC$, $AQ = \frac{1}{4}AC$

与えられた条件から、BC:CP = 3:1、AQ:QC = 1:3

したがって、$\frac{BP}{PC}=3$ と $\frac{CQ}{QA}=3$が成り立ちます。

三角形BCPと直線ARにおいて、メネラウスの定理より

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RQ}{QP} \cdot \frac{PC}{CB} = 1$

次に、三角形ACQと直線BPにおいて、メネラウスの定理より

$\frac{CB}{BP} \cdot \frac{PR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QC} = 1$

$\frac{3}{3} \cdot \frac{PR}{RA} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{PR}{RA} = 3$

$RA = \frac{1}{3}PR$

$AR = \frac{1}{3}RP$

三角形ABCに直線AQとBPが交わるので、点Rは線分AQとBP上にある。

$\frac{BC}{CP}=3$, $\frac{CQ}{QA}=3$

このとき、$\frac{AR}{RB}$を求めたい。

三角形ACQに直線BPについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{CB}{BP} \cdot \frac{PR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QC} = 1$

$\frac{CP + PB}{BP} \cdot \frac{PR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QC} = 1$

ここで、BC = 3CPなので、CB=3PC

したがって$\frac{3PC}{BP} \cdot \frac{PR}{RA} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{PC}{BP} = \frac{1}{3} \implies \frac{BP}{PC}=3$

$\frac{BP}{PC} = \frac{AP+PC}{PC} = \frac{AP}{PC} + 1=3$

$\frac{CB}{BP}\cdot \frac{PR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QC} = 1$

$\frac{2+1}{BP} \cdot \frac{PR}{RA} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$CB=3$, $\frac{AQ}{QC}=\frac{1}{3}$

$\frac{3}{RP+PB} \cdot \frac{PR}{AR} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{AR}{RB}=\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 2 \cdot 3 = 6$

チェバの定理を使うと

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

$\frac{AP}{PC}=2$ and $\frac{CQ}{QA}=3$

so $2 \cdot 3 \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

$\frac{BR}{RA} = \frac{1}{6}$

$\frac{RA}{BR} = 6$

3. 最終的な答え

AR : RB = 6 : 1