三角形ABCにおいて、点Pが辺BCを9:1に内分し、点Rが辺ABを3:1に内分するとき、直線APと直線CRの交点をQとする。このとき、CQ:QAを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Pが辺BCを9:1に内分し、点Rが辺ABを3:1に内分するとき、直線APと直線CRの交点をQとする。このとき、CQ:QAを求める問題です。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用します。三角形AB Pにおいて、直線CRを考えると、メネラウスの定理より、

$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

問題文より、$BC:CP = (9+1):1 = 10:1$、$AR:RB = 1:3$であるから、

$\frac{10}{1} \cdot \frac{PQ}{QA} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{PQ}{QA} = \frac{3}{10}$

したがって、$AQ:QP=10:3$

次に、三角形BPCにおいて、直線AQを考えると、メネラウスの定理より、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$

$\frac{4}{1} \cdot \frac{RQ}{QC} \cdot \frac{1}{9}= 1$

よって$\frac{RQ}{QC}= \frac{9}{4}$

したがって$QC:RQ = 4:9$

三角形ARCにおいて、直線BPを考えると、メネラウスの定理より、

$\frac{CB}{BP} \cdot \frac{PQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RC} = 1$

$BC = BP + PC = 9+1 = 10$

\frac{CQ}{QA}を求める}

三角形BCPに直線ARが交わっているのでメネラウスの定理から、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$

$\frac{4}{1} \cdot \frac{RQ}{QC} \cdot \frac{1}{9} = 1$

$\frac{RQ}{QC} = \frac{9}{4}$

次に、チェバの定理を使う。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{1} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

CQ:QA = 1:3